XV Olimpiada Nacional de Física 2004
ZACATECAS

Soluciones al examen teórico

Problema 1.

Un cazador incrusta un dardo de masa m en un pájaro que vuela en línea recta horizontal a una altura h sobre el suelo. Sabemos que el dardo incide detrás del ave con una velocidad v a un ángulo α con la vertical. El pájaro cae al suelo un tiempo t después de ser golpeado a una distancia d adelante del punto donde fue golpeado. Los datos del problema son m, h, v, d, α.

(a) Obtenga la masa M del pájaro.

(b) Obtenga la rapidez |V| a la que el pájaro volaba antes de ser golpeado por el dardo.

Solución

(a) i) El principio de conservación de la cantidad de movimiento para el sistema dardo- pájaro es:

mv + MV = (m + M)Vdp

ii) Las componentes de la velocidad del dardo son datos del problema

vx = v Senα
vy = v Cosα

Por lo tanto el principio de conservación en sus dos componentes es

mv Senα + MV = (m + M)Vdpx
mv Cosα = (m + M)Vdpy

A partir de la segunda relación obtenemos la velocidad vertical inicial del sistema dardo-pájaro. Ambos caerán juntos. La velocidad es

Vdpy = (mv Cosα)/(m + M)

iii) La expresión para la altura del sistema dardo-pájaro en cualquier momento t, es

y = h + Vdpyt - (gt2/2) = h(mv Cosα/(m + M))t - (gt2/2)

Al golpear el suelo y = 0

(gt2/2(m + M)) = h(m + M) + mv Cosα,

→ agrupando →

((gt2/2) - h)M = (v Cosα + h - (gt2/2))m

Finalmente

MV = (m + M)Vdpx - mv Senα

(b) Del principio de conservación de la cantidad de movimiento

MV = (m + M)Vdpx - mv Senα

Como el sistema dardo-pájaro se mueve horizontalmente con una velocidad uniforme

Vdpxt = d

Finalmente se obtiene

V = ((m + M)/M)(d/t) - mv Senα

Problema 2.

Un electrón de masa m y carga e- es lanzado con una velocidad v a lo largo de una trayectoria horizontal justo a la mitad de dos placas paralelas también horizontales, cada una de longitud l como lo muestra la figura.

La intensidad del campo eléctrico es E y el campo apunta hacia abajo. Una pantalla fluorescente se coloca a una distancia d de las placas.

Obtenga las fórmulas para.

(a) El desplazamiento vertical y del electrón justo cuando abandona las placas deflectoras.

(b) El ángulo θ que hace la trayectoria del electrón con el eje horizontal después de abandonar las placas.

(c) La distancia vertical Y del eje al punto donde el electrón golpea la pantalla.

Solución

(a) La fuerza eléctrica sobre el electrón = masa x aceleración vertical del electrón

E × e = may, es decir ay = Ee/m

El tiempo que tarda el electrón en atravesar las placas es

t = l/v

El desplazamiento vertical cuando deja las placas es

y = 1/2 ayt2 = 1/2 (eE/m)(l/v)2

(b) tanθ = y/(1/2)l = Eel/mv2

(c) Y = ((1/2)l + d)tanθ = ((1/2)l + d)Eel/mv2

Problema 3

Una tabla de madera que tiene uno de sus extremos fuera del agua se apoya en una piedra que a su vez sobresale del agua. La tabla tiene una longitud l. Una parte de la tabla de longitud a se encuentra sobre el punto de apoyo (ver figura) ¿Qué parte de la tabla está hundida si el peso específico de la madera es d y el del agua d0?

Solución

De la igualdad de momentos respecto al punto A (ver figura) que actúan sobre la tabla, tenemos

Pl(l - a - x/2)Cosα = P(1/2 - a)Cosα

donde

Pl = Sxd0,      P =Sld

donde S es el área o sección transversal de la tabla y d0 es el peso específico del agua.

De aquí resulta que,

x = (l - a) +- √(l - a)2 - (d/d0)l(l - 2a)

como x<(l-a) entonces es válida solamente una solución

x = (l - a) - √(l - a)2 - (d/d0)l(l - 2a)