Imaginemos que estamos parados sobre el ecuador terrestre, a nivel del mar:

1. Con un dinamómetro bien calibrado sostenemos una bola de plomo, cuya masa es de 1 kg y observamos que el peso es de 9.78 N (el empuje del aire sobre la bola es menor de .001 N, y como nuestro dinamómetro está calibrado hasta .01 N, no distinguiríamos el cambio en el peso, al pesar la bola en el vacío).

2. Un "extraterrestre inercial" (EI) vería que la bola describe un movimiento circular uniforme, cuyo radio es igual al del globo terráqueo y el periodo es de un día. Por tanto, la fuerza neta sobre la bola debe ser de 0.03 N, redondeando a centésimos de N, ya que
   
   
   El extraterrestre concluiría que si el dinamómetro jala a la bola hacia afuera con fuerza de 9.78 N, la Tierra debe jalar la bola con una fuerza de 9.81 N.

3. Con un poco más de imaginación, pensemos que se ha construido sobre el ecuador una torre cuya altura es igual al radio terrestre, y que un "astronauta escalador" (AE) se encuentra en la parte superior de la tore con el dinamómetro y la bola. El extraterrestre consideraría que al duplicarse el radio en el movimiento circular debe duplicarse el valor de la fuerza neta sobre la bola, o sea de 0.03x2 = 0.06 N. De acuerdo con la ley del ``inverso cuadrado'' la atracción gravitacional se reduce a
   
   

   9.81
   2 2

   
   Por tanto esperaríamos que el dinamómetro marque 2.39 N (o sea que la bola pesaría 2.39 N).

4. Podemos preguntarnos qué altura debe tener nuestra torre para que la atracción gravitacional sea justamente igual a la fuerza neta sobre la bola, ya que en lo alto de esa torre la bola no pesaría, el dinamómetro marcaría 0.00 N, y la bola quedaría flotando, al igual que el AE.

   En general: fuerza de la Tierra sobre la bola menos fuerza del dinamómetro sobre bola (o suma vectorial de ambas fuerzas) es igual a fuerza neta sobre la bola (fuerza centrípeta).

   Así, si se tiene la altura suficiente para que la bola no pese (ésta se quedaría flotando), se tendría que la fuerza gravitatoria será igual a la fuerza centrípeta según el extraterrestre.

   Por tanto,

   9.81
   	=0.0338x,
   x 2

   siendo x la distancia al centro de la Tierra, medida en radios terrestres. Despejando x de la ecuación anterior se tiene que x = 5.62, o sea que la altura de la torre sería de 5.62 radios terrestres que equivale a
   5.62 x 6.38 x 10³ km = 35.86x10³ km.

   Esta altura corresponde a la altura a que están los satélites estacionarios sobre el ecuador (en reposo respecto a la Tierra).

5. Finalmente ¿qué pasaría si la torre fuera aún más alta?, pues el extraterrestre inercial ahora la fuerza centrípeta necesaria es mayor que la atracción gravitacional y el dinamómetro tendría que jalar para abajo para mantener en reposo la bola de plomo. Sin embargo, para entonces se habría invertido el arriba y abajo para nuestro "astronauta escalador" y ya la superficie de la Tierra la vería arriba y no abajo como es la costumbre.

Juan Américo González
Facultad de Ciencias, UNAM

En efecto, en muchos libros introductorios se trata el problema de calcular el alcance máximo (y el ángulo de disparo q correspondiente) de un proyectil disparado desde el nivel de un piso horizontal. Algunos textos plantean, sin resolver, este mismo problema cuando el disparo se produce en la base de una colina que forma un ángulo b respecto de la horizontal. Sin embargo, en ningún texto he encontrado la solución al problema real de disparar un proyectil desde una altura h sobre una superficie horizontal o no (véase la Fig. 1).

Probablemente el argumento para no incluir este problema en los textos introductorios sea que el álgebra involucrada en la solución (tradicional) se hace excesivamente engorrosa y que no añade nada nuevo al problema, lo cual es cierto. Sin embargo, esto tiene dos inconvenientes: el lector se queda con la idea de que en todos los casos el ángulo para lograr el alcance máximo es de 45^o y con la sensación de que, una vez más, los problemas planteados son irreales. En este trabajo desarrollo una solución general del problema usando una idea que reduce notablemente los pasos algebráicos para lograrla.

La primera parte del cálculo es estándar. Primero se plantean las ecuaciones de las dos componentes del movimiento

            y

en donde v_ox = v₀ cos y v_oy = v₀sen y h es la altura desde la cual se hace el disparo. Despejando al tiempo de (2) y sustituyéndolo en (1) se obtiene la ecuación de la trayectoria:

en donde m = tan y se ha usado la relación 1 + sec² = tan² . El procedimiento normal sería calcular dy/d, igualar el resultado a cero para establecer la condición de máximo o mínimo y de ahí encontrar el alcance máximo y su ángulo correspondiente. (Incidentalmente, este procedimiento requiere de conocimientos de cálculo que no necesariamente tienen los alumnos de los cursos introductorios.)

Cualquiera que lo haya intentado sabe de las complicaciones que se presentan. El procedimiento alternativo, que tuvo su origen mientras calificaba un examen de mi curso, consiste en lo siguiente. Primero calcúlese la parábola de impacto, es decir, la envolvente de todas las trayectorias posibles con una rapidez de disparo v0 fija. Esta envolvente se obtiene de despejar m:

y establecer la condición para que m tenga un solo valor; es decir, encontrar aquellos puntos que pueden ser alcanzados por el proyectil con un ángulo de disparo único:

Una vez conocida la parábola de impacto, el alcance máximo se obtiene haciendo y = 0:

y el ángulo de disparo sustituyendo x_max en la Ec (5), con el radical igual a cero:

Nótese que el ángulo de disparo para el alcance máximo no es 45^o y que depende de la altura h respecto del piso desde la cual se hace. Una vez establecido el procedimiento, el cálculo para encontrar estas mismas cantidades cuando el disparo se hace sobre una colina que forma un ángulo (positivo o negativo) respecto de la horizontal es trivial. Basta escribir la ecuación de la colina

en donde m'= tan, y hacerla simultánea con la de la parábola de impacto

Resolviendo para x_max, tomando sólo el valor positivo del radical (¿por qué?), se obtiene:

Sustituyendo este valor en la Ec. (8) obtenemos y_max y, en consecuencia, el alcance máximo sobre la colina El ángulo de disparo correspondiente se obtiene al sustituir x_max en la ecuación de la parábola de impacto (Ec. 4). En particular, si h = l = 0,

            y

(Como ejercicio para el lector dejamos la demostración de que esta última ecuación implica que

Conclusiones
Se ha presentado un método general para obtener el alcance máximo de un proyectil usando la parábola de impacto. Este enfoque es, hasta donde sé, novedoso y se puede usar con alumnos que no sepan cálculo.

Raúl Gómez González
Facultad de Ciencias, UNAM

Definición A (definición tradicional). Peso de un objeto es sinónimo de fuerza gravitacional de la Tierra sobre dicho objeto. Desde este punto de vista las lecturas de las básculas o los dinamómetros, corresponden al "peso aparente". Habría que corregir el valor del peso aparente tomando en cuenta la rotación terrestre y el empuje del aire para obtener el valor del "peso verdadero". Además el fenómeno de impesantez que se da en objetos en caída libre como es el caso de las personas y objetos dentro de una nave espacial en órbita corresponde a una "impesantez aparente".

Definición B (definición operacional). Peso es la magnitud de la fuerza que el objeto (o la persona) ejerce sobre su apoyo. La lectura de un dinamómetro sobre el cual cuelga un objeto es el peso del objeto. Desde este punto de vista "peso" ya no es sinónimo de fuerza gravitacional, y la caída libre corresponde al estado de impesantez.

En pocas palabras, lo que según la definición A corresponde al "peso aparente", según la definición B es únicamente "el peso".

En los nuevos programas de física del Colegio de Bachilleres, así como en los de la Escuela Nacional Preparatoria, se sigue esta última convención (definición B) al referirse al peso de un objeto. Mientras no haya un consenso total entre los profesores de física es conveniente ser muy explícito en qué significado le estamos dando a la palabra "peso" en un momento dado.

Invitamos a los miembros de la comunidad a que se expresen por este medio, para saber su punto de vista al respecto.

Juan Américo González
Facultad de Ciencias, UNAM